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Calculadoras, jerarquía de las operaciones y otras mentiras…

Sucede que últimamente se han popularizado por las redes sociales este tipo de juegos/acertijo matemático/recreativo, en los que se plantea una operación múltiple, y se proponen dos soluciones alternativas. Entonces la gente se divierte apostando a cuál será la solución correcta. Sucede también, como en la mayoría de juegos de este tipo, que el enunciado del problema descansa sobre algún tipo trampa. Como ejemplo del caso, el problema, que sea quizá, con el que comenzó todo este torbellino de despropósitos, el famosísimo 6:2(1+2)=1 ó 6:2(1+2)=9 que aparecía operado en dos calculadoras de la misma marca.  El clamor popular era JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES!!! y apostaban todo al 9 rojo. Quizá sea este un buen momento para profundizar, un poco más detenidamente, en cómo se construye y se formaliza, matemáticamente, toda esta historia de las operaciones, y sobre las propiedades que tiene o que no tiene una operación. Todo esto os lo conté en un vídeo hace poco, pero puedes seguir leyendo el artículo, cuento lo mismo con otras palabras.
 
Empezamos por lo más elemental.
¿Qué es una operación? Pues casi cualquier libro de álgebra moderna/álgebra abstracta que consultemos, nos dirá que una operación en un conjunto A, es una aplicación que relaciona elementos de AxA (producto cartesiano) con elementos en A (presuponiendo que la operación es interna, que para nuestro objetivo, es lo de menos). Es decir, la suma, por ejemplo, es una aplicación que lleva el par (x, y) al elemento x+y. Si definimos la suma en el conjunto de los naturales, N, pues (x, y) serán naturales, y si definimos la suma en el conjunto de los reales, R, pues (x, y) serán números reales. Por ahora, todo muy simple y muy sencillo. Además, en nuestra vida cotidiana operamos con números reales (pagamos en el supermercado, nos medimos/pesamos en la farmacia, viajamos cierta distancia en cierto tiempo…), por lo que nos vamos a permitir la licencia de contextualizar todo lo que viene a continuación, presuponiendo que operamos siempre en el conjunto de los números reales. Nos olvidamos, de esta manera, de las restricciones puntuales que pueda haber, en ciertos aspectos de esta discusión, para conjuntos como los naturales, enteros (Z) o racionales (Q). Aclarado esto, vamos a dar un paso más. Siguiente pregunta.

¿Qué propiedades puede tener una operación? 
Una operación puede ser asociativa y/o conmutativa, y un elemento que operamos a través de una operación puede tener elemento neutro y/o tener elemento simétrico. Recalquemos: puede tener no implica que obligatoriamente tenga todas estas propiedades. Vamos a intentar analizar, de forma lo más sencilla posible, qué significa cada una de estas palabrejas. Tomaremos como ejemplo la operación suma. ¿Por qué? Pues porque es la operación más básica, la más extendida, y con la que todos nos podemos sentir más cómodos o familiarizados. La suma, además, es tan simpática que cumple con todas estas propiedades. Por ejemplo, la suma es asociativa. Eso significa que, si quiero operar 2+3+4 puedo elegir operar (2+3)+4, de donde tendría 5+4, que da como resultado 9. Idéntico resultado obtendría si decidiera operar 2+(3+4), ya que de esta última expresión quedaría 2+7. Por lo tanto, la propiedad de ser asociativa no significa más que: a la hora de hacer operaciones múltiples puedo asociar los pares que me dé la gana y obtendré al final el mismo resultado. La suma también es conmutativa. Esto quiere decir, que de operar 2+3 obtengo el mismo resultado que de operar 3+2. Para la suma hay un elemento neutro. El elemento neutro no es otra cosa que aquel número, que al operarlo a través de una operación, no modifica la cantidad, es decir, 2+0 sigue siendo 2. Por esta razón, el 0 se dice que es el elemento neutro para la suma. En la suma también hay un simétrico para cada elemento. Un elemento simétrico es aquél que, operado a cierta cantidad, nos lleva al elemento neutro. Para la suma sería el elemento que, sumado al 2 (por ejemplo), me llevara al 0, y esto es simplemente el -2, puesto que 2+(-2)=0. 
Ya sabemos qué es una operación, y qué propiedades puede tener o no tener. Es en este momento cuando en matemáticas se intentan buscar patrones o estructuras comunes. Y eso es lo que lleva a la definición de grupo abeliano y de anillo. Un grupo abeliano, es simplemente un conjunto, y una operación, sobre dicho conjunto, que cumpla las propiedades de ser asociativa, conmutativa, con elemento neutro y para la cual todo elemento del conjunto tiene un simétrico. Un grupo abeliano se denota comunmente por la pareja (A, +) y a la operación se le suele llamar suma. Como acabamos de decir, grupo abeliano es una definición que nos va a permitir encontrar patrones de comportamiento. Así, podemos decir que (Z,+) o (Q,+) son grupos abelianos y que (N, +) no lo es (los elementos de N no tienen un simétrico en N). Si a un grupo abeliano (A,+), le añadimos una segunda operación, y además, esta segunda operación, cumple las propiedades de ser asociativa, conmutativa y tener elemento neutro, entonces la terna (A, +, ·) se dice que es un anillo (conmutativo). Esta segunda operación se suele nombrar como producto y denotar (como ya habréis intuido) por ·. Debemos notar aquí, que no estamos exigiendo a esta segunda operación, la condición de que todo elemento tenga simétrico, y es está la mayor diferencia entre la operación suma y la operación producto. Pues bien, llegados a este punto, podemos decir que, desde un punto de vista formal, en nuestra vida cotidiana, todas las operaciones las realizamos en el anillo (R, +, ·), es decir, con números reales, con una operación suma que es asociativa, conmutativa, con respecto a la cual, para todos los números existe el elemento neutro, y sobre la que todos los elementos tienen simétrico (que llamaremos opuesto para la suma); y una operación producto, que es asociativa, conmutativa y con elemento neutro. Ahora os preguntareis de forma natural, ¿dónde se ha dejado este tío la resta y la división? (pregunta que se puede extender a otras operaciones más complejas, digamos las potencias, raíces y compañía…)
Hemos definido, para la suma, un elemento simétrico, y hemos dicho que lo llamaremos opuesto. Lo vamos a denotar con el signo -. Ya hemos visto que el opuesto de 2 es -2. Podemos simplificar notación escribiendo 2-2 en lugar de 2+(-2). Además, el opuesto del opuesto es el elemento original, es decir, -(-2)=2, ya que -2+(-(-2))=0. Y ahí tenemos nuestra tan deseada operación resta. La resta surge, de forma natural, a partir de sumar con el opuesto, es decir, la suma y la resta vienen a ser la misma operación. Algo parecido pasa con la división. En el caso de la multiplicación, tendremos al 1 como elemento neutro, ya que multiplicar por 1 no altera la cantidad (que recordemos era el requisito para ser elemento neutro). Además, al simétrico de un elemento lo llamaremos inverso y lo denotaremos por 1/, ya que 2·(1/2) (por ejemplo) da como resultado el neutro del producto, el 1. No todos los elementos de R tienen inverso, ya que el 0 no lo tiene, pero los demás sí. De nuevo, para simplificar notación podemos escribir 2/2 en lugar de 2·(1/2), y fijaros, de nuevo la magia, hemos deducido la operación división a partir de la operación multiplicación. Quizá resulta natural preguntarnos ahora, por qué no se define entonces un anillo como la terna (R, -, /). Pues quizá la razón más contundente para esto sea la de que estas operaciones, la resta y la división, no son operaciones tan simpáticas como la suma y la resta. Por poner un ejemplo sencillo de su tal antipatía, la resta no tiene la propiedad de ser conmutativa (2-3 no es lo mismo que 3-2) y la división, pues tampoco (2/3 y 3/2 tienen poco que ver). En matemáticas, siempre se construye desde lo sencillo. La base es lo simple. Un anillo no es más que una estructura algebraica para un conjunto y unas operaciones y que reúne ciertas condiciones (condiciones que no se podrían reunir tomando como referencia otras operaciones).
Una vez que hemos aprendido que hay otra forma de mirar el mundo de las operaciones (la resta como la suma del opuesto y la división como la multiplicación por el inverso), es natural que nos preguntemos. ¿Y la jerarquía? ¿La jerarquía de las operaciones tiene algún fundamento matemático?
En la escuela nos enseñan que la jerarquía de las operaciones obliga primero a corchetes [] y paréntesis (); segundo a multiplicaciones · y divisiones / (ya hemos dicho que son la misma operación, por lo que es lógico que estén en el mismo orden de jerarquía); y por último nos quedarían las sumas + y las restas – (también son la misma operación). ¿Analizamos el fundamento de este orden jerárquico? Corchetes y paréntesis son signos naturales de agrupación, y si alguien nos indica que algo está agrupado, es muy natural que se opere primero. Una vez que se ha operado lo agrupado, solo quedarán productos y sumas, y la jerarquía dice que debemos elegir operar primero los productos. Pero no por un consenso universal que se haya pactado para que alrededor del mundo todo ser humano que se encuentre en la disyuntiva pueda llegar a la misma solución, sino por un fundamento matemático sólido que es muy sencillo de ilustrar. Imaginemos que tenemos 2·3. El producto 2·3 se interpreta como la suma de dos veces 3 o como la suma de 3 veces 2, según el gusto y el punto de vista. Esto es, 2+2+2 ó 3+3. Por lo tanto, cuando yo me encuentro una operación tal como esta, 3+3, es muy natural que simplifique su escritura poniendo 2·3. ¿Qué pasa cuando tengo 3+3+1?. Pues, que es de esperar que simplifique la escritura de la suma de las cantidades iguales, y escriba 2·3+1. Y esto tendrá más sentido cuanto mayor sea la cantidad de veces que se repite el 3 ,puesto que mayor es la simplificación. Imagina 3+3+3+3+3+3+3+3+3+3. Realmente 10·3 es una forma más adecuada, y que da completo sentido al producto. Podemos decir entonces, que 2·3+1, en realidad es la operación 3+3+1, y esto me imposibilita a realizar la cuenta 2·4 (es decir, a darle prioridad a la suma sobre el producto), porque yo no tengo suficientes unos en 3+3+1 para poder sumar dos 4. Es decir, que la multiplicación va antes en jerarquía, porque primero sumo todos los elementos que son iguales, y luego ya sumo los que son distintos. Es sencillo, y tiene un razonamiento matemático claro. ¿Qué pasa con las operaciones múltiples? La suma y el producto (como ya hemos visto) son ambas asociativas y conmutativas. Esto me habilita para operar, como yo quiera, como me dé la gana, en operaciones múltiples del tipo  2+3+4 ó 2·3·4. ¿Qué pasa entonces si tengo 2:3·4? o más en concreto, ¿qué pasa si tengo, como aparecía en aquellas calculadoras, 6:2·3? Muy sencillo, no puedo operar. No puedo decidir por mí mismo, en una situación descontextualizada, qué operación va primero, si 6:2 o si 2·3. Una frase escrita de esta manera es una “operación mal construida” (parafraseando lo que sería en lenguaje de lógica proposicional una “proposición mal formada”). No hay ningún fundamento matemático que nos imponga operar de un modo en concreto en esta situación. Esta operación, sólo podrá ser resuelta si se formaliza el contexto en el cual está escrita. Por ejemplo, “en ausencia de paréntesis se opera de izquierda a derecha”. Pero podría perfectamente pasar también que yo me despierte un día y me apetezca escribir un texto en el que imponga  que “en ausencia de paréntesis se dará prioridad al producto”. Y tendría la misma validez. Porque estaría contextualizada y aclarada esta situación dual. Cuando no hay contexto, cuando no hay aclaración, no podemos decidir. Cualquier decisión será errónea. La coletilla de “operaciones en el mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha” es falaz, no tiene ningún fundamento. Entonces, ¿por qué opera la calculadora? ¿Por qué no el típico Math Error?
Primero, hemos de aclarar que lo recién discutido sólo se puede aplicar al lenguaje escrito, digamos, una frase escrita en un folio o en una pizarra o en un libro, o entre las líneas de este texto. Así, 6:2·3, así, sin más, no tiene ningún sentido. Esta discusión no se debe extrapolar al mundo de las calculadoras. Las calculadoras son objetos, seres inanimados, no piensan, no tienen corazón, sólo te responden (en su idioma, eso sí) a lo que tú le preguntes. Las calculadoras, están programadas por un señor, un señor que, por nuestro bien, intenta que comunicarnos con la calculadora sea lo más sencillo posible. Por eso, decide un protocolo que nos permita prescindir de paréntesis en la medida en que sea posible. Ahora bien, este señor programador no nos quiere engañar. No. Junto a la calculadora, nos envía una hoja de instrucciones de uso, donde nos dice de forma muy detallada cómo tenemos que preguntarle a la calculadora cada tipo de cuestión. Así, en la página S-30 de la hoja de instrucciones de la calculadora modelo fx82MS dice textualmente “las demás operaciones se realizarán de izquierda a derecha”. Por otro lado, en la página 8 de las instrucciones relativas al modelo fx82SP dice textualmente “cuando se omite un signo de multiplicación inmediatamente antes de un paréntesis abierto… 6:2(1+2)->6:(2(1+2))” Es por esto, que resulta realmente grave la confusión. No sólo es que no tiene ningún fundamento razonado (más allá de la búsqueda de consenso, que por otro lado no es matemáticas sino política) la supuesta obligatoriedad de operar de izquierda a derecha, sino que además, olvidamos lo que realmente es la clave en este dilema: comprender que la calculadora no se equivoca, ser capaces de analizar su idioma y aprender a utilizar un objeto en nuestro propio favor. Cómo tengo que preguntar a esta calculadora en concreto debería ser el enigma a resolver en este juego.  
Sabéis que siempre me gusta hacer un alegato final a partir del discurso que se ha desarrollado. En este caso, mi defensa es muy clara. Saber matemáticas no consiste en saberse la jerarquía de las operaciones (esa jerarquía la puede aplicar cualquier máquina programada para ello). Saber matemáticas es ser capaz de detectar algo extraño en dos calculadoras que ante la misma expresión (que no la misma operación) arrojan resultados distintos, es ser capaces de buscar qué hay detrás de esas diferencias, es poder/querer preguntarse qué está pasando. Dudar de lo más básico o de lo que en un principio nos parece más obvio (dime si conceptos como operación, suma o producto no eran cosas “demasiado obvias como para dudar de ellas”) es lo que nos va a permitir construir (o reconstruir) nuestro conocimiento de forma sólida. 
 
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima octava edición, también denominada 9.2, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

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