Anuncios

Determinantes de Vandermonde.

Es el determinante de una matriz en la que cada fila (o columna) representa una progresión geométrica cuyo primer término es $1$ y de razón $x_i$. El interés recae en que el determinante de una matriz de esta forma se puede calcular de forma recursiva,
$$\begin{array}{lcl}\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&…&1
\\ x_1&x_2&…&x_n
\\ x_1^2&x_2^2&…&x_n^2
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ x_1^n&x_2^n&…&x_n^n
\end{array}
\right|&=&(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots (x_n-x_1)\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&…&1
\\ x_2&x_3&…&x_n
\\ x_2^2&x_3^2&…&x_n^2
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ x_2^n&x_3^n&…&x_n^n
\end{array}
\right|=\\
&=&\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)\end{array}$$

En el siguiente ejemplo se calcula el determinante de una matriz de Vandermonde utilizando un proceso razonado, sin utilizar la fórmula recursiva, y de esta manera vamos a comprender de dónde se deduce dicha fórmula y por qué es de esta forma.

Ejemplo: Determinantes de Vandermonde.

Calcule el siguiente determinante, $$\left|
\begin{array}{ccccc}
1& 1 & 1 & 1 &1\\
1& 2 & 3& 4&5 \\
1 & 4 & 9& 16 &25\\
1 & 8 & 27 &64 &125 \\
1 & 16 & 81 &256 &625
\end{array}
\right|$$

Solución paso a paso: