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Propiedades.

En lo que sigue utilizaremos indistintamente la siguiente notación: las matrices $A, B \in M_{n}(K)$, un escalar $k \in K$, y llamaremos $F_i$ y $C_i$ las distintas filas y columnas, respectivamente de la matriz $A$, es decir, $$A=\left(
\begin{array}{ccccc}
F_{1}
\\ F_{2}
\\ \vdots
\\ F_{n}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ccccc}
F_{1}&F_{2}&…&F_{n}
\end{array}
\right)^t=\left(
\begin{array}{ccccc}
C_{1}&C_{2}&…&C_{n}
\end{array}
\right)$$

Se cumple que,

  • (1) Si una fila o una columna de una matriz se multiplican por un escalar $k$, el determinante queda multiplicado por dicho número, $$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&kF_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=k|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|$$
    $$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&kC_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=k|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|$$

Esta propiedad nos permite “simplificar” filas o columnas de una matriz, sacando fuera del determinante una especie de factor común. De esta forma $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 1&3
\end{array}
\right|=\left|
\begin{array}{cc}
2\cdot 1&2\cdot 2
\\ 1&3
\end{array}
\right|=2\left|
\begin{array}{cc}
1&2
\\ 1&3
\end{array}
\right|$$

  • (2) Si multiplicamos una matriz $A$ por un escalar $k$, entonces el determimante queda multiplicado por $k^n$, siendo $n$ el orden de la matriz, $|kA|=k^n|A|$.

Esta propiedad es una generalización de la propiedad (1) donde todos los elementos de una matriz se pueden dividir por un mismo escalar. De esta forma $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 2&6
\end{array}
\right|=2\left|
\begin{array}{cc}
1&2
\\ 2&6
\end{array}
\right|=2\cdot 2\left|
\begin{array}{cc}
1&2
\\ 1&3
\end{array}
\right|=2^2\left|
\begin{array}{cc}
1&2
\\ 1&3
\end{array}
\right|$$

  • (3) Si una fila o una columna de una matriz se descompone en dos sumandos, el determinante de dicha matriz coincide con la suma de los determinantes de dos nuevas matrices, donde cada una contiene a uno de estos sumandos,$$\begin{array}{l}|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_p+F’_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=\\
    =|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|+|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F’_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|\end{array}$$
    $$\begin{array}{l}|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_p+C’_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=\\
    =|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|+|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C’_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|\end{array}$$

 

 

$$\left|
\begin{array}{cc}
2+1&4+1
\\ 1&3
\end{array}
\right|=\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 1&3
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
1&1
\\ 1&3
\end{array}
\right|$$

 

MUY IMPORTANTE: cuidado!! con sumas en varias filas/columnas. Hay que tener en cuenta todas las posibles combinaciones de sumandos. Por ejemplo $$\begin{array}{lcl}|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F_{2}+F’_2&F_3+F’_3
\end{array}
\right)^t|&\neq &|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F_{2}&F_3
\end{array}
\right)^t|+|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F’_{2}&F’_3
\end{array}
\right)^t|\\
|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F_{2}+F’_2&F_3+F’_3
\end{array}
\right)^t|&=& |\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F_{2}&F_3
\end{array}
\right)^t|+|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F_{2}&F’_3
\end{array}
\right)^t|\\
&+&|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F’_{2}&F_3
\end{array}
\right)^t|+|\left(
\begin{array}{ccc}
F_{1}&F’_{2}&F’_3
\end{array}
\right)^t|\end{array}$$

  • (4) Si se permutan dos filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo,$$\begin{array}{l}|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_p&…&F_q&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=\\
    =-|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_q&…&F_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|\end{array}$$
    $$\begin{array}{l}|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_p&…&C_q&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=\\
    =-|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_q&…&C_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|\end{array}$$

 

 $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 1&3
\end{array}
\right|=-\left|
\begin{array}{cc}
1&3
\\ 2&4
\end{array}
\right|$$

 

  •  (5) Si una matriz tiene una fila o columna nula, su determinante vale 0,$$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&0&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=0$$
    $$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&0&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=0$$

 

 $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 0&0
\end{array}
\right|=0$$

 

  • (6) Si una matriz tiene dos filas iguales o porporcionales, entonces su determinante vale 0,$$|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    F_{1}&F_{2}&…F_p&…&kF_p&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=0$$
    $$|\left(
    \begin{array}{cccccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_p&…&kC_p&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=0$$

 

 $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 1&2
\end{array}
\right|=0$$ puesto que la primera fila es el doble que la segunda.

 

  • (7) Si una fila o columna de una matriz se puede obtener como combinación lineal de otras filas o columnas de esta misma matriz, entonces su determinante vale 0,$$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&kF_p+tF_q&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=0$$
    $$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&kC_p+tC_q&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=0$$

 

 $$\left|
\begin{array}{ccc}
1&2&3
\\ 1&1&-1
\\ 2&3&2
\end{array}
\right|=0$$ puesto que la tercera fila se puede obtener como suma de la primera y la segunda.

  • (8) Si a una fila o columna le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas, el determinante no varía,$$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_l+kF_p+tF_q&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|=|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    F_{1}&F_{2}&…&F_l&…&F_{n}
    \end{array}
    \right)^t|$$
    $$|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_l+kC_p+tC_q&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|=|\left(
    \begin{array}{cccccc}
    C_{1}&C_{2}&…&C_l&…&C_{n}
    \end{array}
    \right)|$$

 

 $$\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 1&3
\end{array}
\right|=\left|
\begin{array}{cc}
2&4
\\ 3&7
\end{array}
\right|$$ (la segunda fila de la segunda matriz es suma de la primera y la segunda filas de la primera matriz). 

Esta propiedad es la base sobre la cual se pueden calcular determinantes de matrices de orden superior a través de la reducción de orden. Nos dice, que el determinante no varía bajo ciertas transformaciones lineales, lo cual nos permitirá obtener matrices equivalentes a una dada, y que sean más sencillas. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado, porque no valdrá cualquier transformación lineal al estilo de Gauss (por ejemplo, como cuando estamos escalonando una matriz para estudiar su rango), ya que, la propiedad (2) listada arriba, nos advierte que al multiplicar una fila por un escalar, el determinate queda modificado en dicha magnitud. Esto se discutirá detalladamente en la sección relativa al calculo de determinates por reducción de orden.

  • (9) El determinante del producto de dos matrices coincide con el producto de los determinantes de cada una de las matrices, $$|AB|=|A||B|$$
  • (10) El determinante de la matriz inversa coincide con la inversa del determinante de la matriz, $$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$
  • (11) El determinante de una matriz coincide con el determinante de su matriz traspuesta, $$|A^t|=|A|$$