El consenso.

En matemáticas (y diría que a todos los niveles de maestría) hay un latiguillo común y muy extendido, que reconozco haber utilizado y que a mi punto de vista, además de carecer de rigor, encierra cierto peligro. Se trata del extendido “por consenso/por convenio”. Sucede que el uso de ésta coletilla, termina casi siempre tapando el razonamiento sobre el cuál descansa aquello que se presupone cierto por convenio/por consenso. Esto tiene consecuencias negativas, pues además de quedarnos en la superficie, nos puede inducir a pensar que existe una componente de arbitrariedad en este campo. Y nada más lejos de la realidad.

En matemáticas todo se desarrolla a partir de unas cuantas definiciones y unos cuantos axiomas, y a partir de ahí se construye el conocimiento. Antes de seguir, permíteme que concretemos a qué llamamos “axioma”, “definición”, “convenio”.

Esquemáticamente. Una definición es aquello que dota de significado a un símbolo. Por ejemplo: “Un punto es lo que no tiene partes” (Euclides, definición1, Libro I). Un axioma es aquello que se presupone cierto. Por ejemplo: “Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta” (Euclides, postulado 1, Libro I). En el contexto en el que nos movemos, convenio y consenso tienen el mismo propósito, y por eso utilizaremos estás palabras indistintamente. Convenio es aquello que carece de obligación por parte de la lógica, pero que se ha de aplicar en post del entendimiento común o la conveniencia general. Consenso es aquello en lo que se está de acuerdo que se ha de aplicar. Consenso o convenio se aplican a lo que la comunidad acuerda, no a lo que la matemática obliga. No tendría sentido decir que por convenio o por consenso la suma del cuadrado de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, en un contexto de geometría euclídea. Para esto existe una demostración. Por el contrario, si sería por convenio o por consenso que de repente todos asumiéramos que 8:2:2 no es una operación mal formada, sino que estamos obligados a operar de izquierda a derecha. Y ahora vamos a profundizar un poco más.

Una definición es una etiqueta que ponemos a algo que existe de forma independiente a dicha etiqueta. Aquello que entendemos por punto, existe, y existe más allá de que sea definido como punto, o sea definido como $P$, o sea definido a través de cualquier otra concatenación aleatoria de símbolos. Por ejemplo. “Un ajklñfd es lo que no tiene partes”. Que ahora hayamos llamado al punto como ajklñfd no afecta a lo que es un punto. El significante no afecta al significado. Lo que nos interesa en el fondo es “lo que no tiene partes”, y es obligación nuestra hacer este ejercicio de abstracción. Y aquí tengo la tentación, quizá demagógica, de decir que punto, point, punkt点(diǎn) son la misma cosa. No podemos pues decir, que un punto es un punto por consenso, puesto que lo que no tiene partes existe, y la elección de punto para denotar lo que no tiene partes es puramente coyuntural.

Un axioma es una verdad absoluta que no necesariamente tiene por qué ser verdad. Curioso, eh. Por ésta razón las matemáticas son tan maravillosas. Un axioma es una verdad absoluta indemostrable, a partir de la cual se construye un campo del conocimiento, pero alterarla no afecta a este campo, sino que, o bien deriva en un sinsentido, o bien, nos sorprende abriendo nuevos horizontes. Hemos puesto como ejemplo de axioma el primer postulado de Euclides. Y ahora, sin movernos mucho, modificando simplemente el quinto postulado, podemos ilustrar a qué me estoy refiriendo con esto de “verdades absolutas que no tienen por qué ser verdad siempre”. El quinto postulado de Euclides establece algo así como que “por un punto exterior a una recta pasa una única paralela” (equivalente a decir que dos rectas paralelas no se cortan nunca). Y esto es una verdad absoluta a la par que intuitiva. A partir de ahí se construye toda la geometría euclídea, la geometría clásica, que es la más instintiva a nivel de calle, porque es la que usamos diariamente la mayoría de los mortales cuando calculamos áreas, volúmenes, distancias, o vemos formas circulares, cuadradas o triangulares. Sin embargo, negar el quinto postulado ha llevado al desarrollo de la geometría más allá de los límites que impone lo lineal. Decir “por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela” (equivalente a decir que dos rectas paralelas ¡siempre se cortan!) permite desarrollar la geometría de Riemann (geometría elíptica), y el otro extremo “por un punto exterior a una recta pasan dos o más rectas paralelas” (equivalente a decir que se pueden trazar dos paralelas que pasen por un mismo punto y que no sean coincidentes) desemboca en la geometría hiperbólica.4330592Master ¿Es esto recreativo? A veces con las matemáticas pasan estas cosas. Alguna genialidad rompe patrones de pensamiento y permite desarrollar campos tan consistentes como incomprendidos. Algunas veces hacen falta muchos años, y muchas mentes, para poder encontrar una aplicación práctica. En este caso podemos decir que la geometría de Riemann permite explicar el espacio-tiempo tal cual se entiende a día de hoy. El nacimiento de esta nueva geometría fué la clave que permitió al famosísimo Einstein asentar su teoría de la relatividad. Pero no creas que necesitamos elevarnos a ese nivel para entender la importancia de este salto. La geometría de Riemann (elíptica, esférica), es la geometría que hemos te utilizar en la superficie terrestre. Y eso es muy sencillo de visualizar—> Por lo tanto, no podemos decir que un axioma es cuestión de convenio. Un axioma es más bien un marco de trabajo sobre el cual se construlle de forma razonada.

Entonces pues, ni una definición, ni un axioma, son cuestión de consenso, sino que son respectivamente, la formalización de un lenguaje y la creación de unas bases para la construcción razonada del conocimiento. Sería de necios defender que un punto es un punto por consenso, e intentar negarle al chino que pueda llamar dian a lo que nosotros llamamos punto, o intentar defender que la cualidad de no tener partes es algo consensuado. De la misma manera, sería absurdo imponer por convenio que dos rectas paralelas nunca han de cortarse, y que Riemann estaba por tanto, majareta. Ambas cosas son una realidad abstracta, observada y descrita.

Llega la hora del convenio. Puesto que mi posición es que no existe tal cosa en matemática, creo que no voy a ser capaz de explicar con exactitud una cuestión consensuada con la cual pueda estar de acuerdo. Contra el ejemplo utilizado arriba (8:2:2 es una operación mal formada) ya hablé en “Calculadoras, jerarquía de las operaciones y otras mentiras…” y en “Cuidado!! te estan engañando!!: ¿Por qué hay un orden para evaluear las operaciones aritméticas?“. Lo que voy a hacer por tanto, es intentar rebatir ciertos “por consenso” extendidos y bastante típicos. Y te invito a que cualquier “por consenso” que no haya rebatido en la siguiente lista, lo expongas en los comentarios y seguro que le podemos encontrar un razonamiento más lógico que el simplista de “por ser lo conveniente”.

Por qués.

  • El 1 no es un número primo. ¿Por qué? En matemáticas pretendemos encontrar patrones lo más genéricos posibles. Cuando trabajamos con los naturales o los enteros no hay ningún problema en considerar al 1 como un número primo (sólo habría que modificar unas pocas palabras en algunos teoremas, pero todo seguiría funcionando perfectamente), pero cuando queremos generalizar, y que las propiedades asociadas a los números primos sean aplicables a otros anillos más abstractos, entonces el 1 y la gente que se comporte como el 1, han de ser excluidos. ¿Por qué? Porque esta gente es mucho más especial que un número primo, es una unidad, y necesita ser considerada como un caso especial. Si éstas líneas esquematicas te saben a poco: [VER VÍDEO]
  • Hay un orden en el que se evaluan las operaciones aritméticas. ¿Por qué? La suma, $+$, es la operación que nos permite determinar la cantitad total, $x+y$, resultante de unir las cantidades de dos conjuntos con cantidades $x$ e $y$. El producto, $xy$, se puede interpretar como la suma de $x$ veces una cantidad $y$, es decir, $y+y+…+y$ ($x$ veces). Cuando yo tengo un conjunto con $x$ elementos y $y$ conjuntos con $z$ elementos tengo en total $x+z+z+…+z=x+zy$ elementos, por lo que cuando yo encuentro la expresión $x+yz$ debo dar prioridad al producto sobre la suma. Si yo quisiera dar prioridad a la suma, necesito entonces un signo de agrupación que me permita interpretar que esta operación debe realizarse primero, y por eso interpreto que $(x+y)z$ ha de ser lo mismo que $(x+y)+(x+y)+…+(x+y)$. Si estás líneas esquematicas te saben a poco: [VER VÍDEO]
  • Dos matrices se suman término a término y se multiplican haciendo el producto escalar de filas por columnas. ¿Por qué? Las matrices representan de forma natural los coeficientes de un sistema, un sistema representa de forma natural una aplicación lineal. En una aplicación lineal la suma y la composición (de funciones) se definen como una extensión natural de la suma y el producto de números, y es esto lo que nos obliga a definir las operaciones entre matrices de esta manera.  Si estás líneas esquematicas te saben a poco: [VER VÍDEO 1: SUMA] [VER VÍDEO 2: PRODUCTO]
  • El determinante de una matriz. ¿Por qué así? Pues simplemente porque es la manera en que se combinan los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales cuando lo estamos resolviendo. Y esto por decirlo rápido, porque comprender qué es un determinante es una de las cosas más mágicas que nos da la matemática: [VER VÍDEO]
  • $\textbf{0!=1}$. ¿Por qué? Un número factorial es sencillamente la cantidad de formas posibles en que se pueden ordenar una cantidad concreta de elementos. Así, hay 3! formas difentes de que 3 personas se coloquen en una fila para comprar unas entradas. ¿Qué pasa si una mañana concreta nos encontramos que no hay nadie para comprar entradas? ¿De cuántas formas diferentes podremos encontrarnos ese escenario? Pues sí, sólo de una: vacio.
  • $\textbf{a}^\textbf{0}=\textbf{1} (\textbf{a}\neq \textbf{0})$. ¿Por qué? Supongamos $a^n$ con $a\neq0$ y $n\neq0$, entonces $\frac{a^n}{a^n}=1$, pero también $\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}$. ¿Verdad?

Falacias.

  • Las operaciones en un mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha. Mentira. No hay una sola razón matemática para sostener esta afirmación. La división no es asociativa, por lo que el orden en que se operan los factores altera el resultado. Es por lo tanto necesario, obligatorio, dejar claro en qué orden se ha de ejecutar la operación, ya sea con una sencilla frase de cabecera (“por simplicidad en la escritura, en lo que sigue, para operaciones en un mismo grado de jerarquía se dará prioridad en el sentido de la escritura”) o utilizando los paréntesis correspondientes.
  • El 0 es un número natural. El 0 no es un número natural. Mentira las dos. Las propiedades que cumplen los números del conjunto {1, 2, 3,…} y las propiedades que cumplen los números del conjunto {0, 1, 2, 3,…} son independientes de cómo decidamos llamar a cada uno de estos conjuntos. Cuando tratamos con números ordinales es común trabajar en el conjunto {1, 2, 3,…} y cuando tratamos con números cardinales solemos estar en {0, 1, 2, 3,…}. Ambos conjuntos pueden ser definidos como el conjunto de los números naturales. La percepción de qué es “lo natural” es algo personal y obviamente resulta estar influenciada por nuestras costumbres. Un especialista en teoría de conjuntos encontrará natural al número $0$ y quizá un epecialista en teoría de número no.

¿Por qué si las matemáticas son exactas entonces se producen estas variaciones? ¿Por qué antes el 1 era primo y ahora no? ¿Por qué antes el primer natural era el 1 y ahora nos planteamos si el 0 ha de serlo? ¿Por qué las matemáticas, si se suponen perfectas, evolucionan? La razón es sencilla. Las matemáticas son, pero el ser humano, que es quien las interpreta, no. El conocimiento o la compresión se adquieren a través de un proceso, de un camino que ha de ser andado. En distintos puntos del camino, nuestras limitaciones como humanos nos pueden conducir a ver una parte muy limitada de la realidad y a sacar conclusiones que son validas sólo para esa realidad “local”. Cuando seguimos caminando y ampliando el horizonte, esa realidad va cambiando, enriqueciendose y ampliandose, lo que nos puede llevar a la necesidad de reconstruir o readaptar las verdades locales a verdades más generales. En un principio, el uno ni siquiera era considera un número (“una unidad es la condición por lo que una cosa existe”…”un número es una reunión de unidades”, Euclides, Libro VII, Definiciones 1 y 2) por lo que no había que plantearse si era primo o si no. Después se llega a la conclusión de que el uno tiene las mismas cualidades que cualquier otro número, y además, en $\mathbb{Z}$ todo funciona bien sea el 1 primo o no lo sea. Luego buscamos generalizar todo eso de la descomposicion factorial a cosas mucho más abstractas (anillos, anillos de polinomios, dominios, dominios de ideales,…) y entonces vemos que hay una cualidad que hace distinguible y especial al 1 y a la gente que es como él, y nos planteamos redefinir nuestra concepción de primo. Hace mucho mucho tiempo, los números servían para contar.  Y si no hay nada que contar, no cuento. Por lo que el cero pasa desapercibido para muchas civilizaciones (¿cómo es 0 en números romanos?). Realmente hace muy poco tiempo que nos dimos cuenta, que toda la matemática se puede formalizar de forma rigurosa para que descanse sobre la teoría de conjuntos, y sí amigo, ahí hay conjuntos vacíos, y surge la necesidad de contemplar el 0 dentro del conjunto más básico de números.

¿La notación es otro tema?. “Denotemos por $\mathbb{R}$ al conjunto de los números reales”. Estaría dispuesto a admitir que $\mathbb{R}$ (el símbolo) es el conjunto de los reales por convenio. En el sentido de que está suficientemente extendido el simbolismo y todos (en el sentido de las distintas culturas o tradiciones culturales) hemos hecho un esfuerzo por uniformizar este tipo de simbolismo en pos del entendimiento común. Sin embargo, la palabra convenio parece que conlleva asociada alguna ilegalidad en caso de incumplimiento. Y, en mi opinión, este tipo de imposiciones no son admisibles en matemáticas. Yo no estaría haciendo malas matemáticas, ni estaría faltando a ningún principio, si un día me levanto y escribo “Sea $A$ el conjunto de los números reales”  y a partir de ahí, y a lo largo de todo mi texto, los reales no son $\mathbb{R}$ sino $A$. Seguramente estaría nadando a contracorriente. Quizá resultaría hasta absurdo. No tendría mucho sentido. Pero todo esto es otra cuestión. La verdad es que desde un punto de vista puramente matemático, no estoy haciendo nada mal. Es evidente que esta situación llevada al extremo sobrepasaría con creces lo demencial. Si me diera por redefinir los símbolos numéricos (0 1 2 3 …) por ejemplo, es seguro que no estaría haciendo otra cosa que el ridículo cuando de hacerme entender en temas comunes se tratara. Aún así, y como anectoda, y con todos mis respetos, tengo que decir, que posiblemente Hardy, y el propio Ramanujan, no habrían trascendido, si Hardy -al igual que hicieron varios colegas suyos que finalmente quedaron en el obstracismo- se hubiera dedicado a reprochar la notación con la que Ramanujan escribía sus matemáticas, en lugar de hacer un esfuerzo (casi descomunal) por comprenderla (el mismo esfuerzo que Ramanujan en explicarse). Gracias a esa cordura hoy tenemos todo lo que Ramanujan tenía que decir, que no fue poco.

¿Dónde queda el consenso en matemáticas entonces? Pues en eso. En el uso comunal de símbolos que nos permitan un entendimiento general. Está el caso más básico del uso de los símbolos consensuados para denotar numerales o cardinales. Pero recordemos que no sólo en occidente se hacen matemáticas. Generalmente entendemos como comunes también los símbolos que denotan operaciones, y sería una negligencia utilizar $+$ para representar otra operación que no fuera la suma sin hacerlo notar. Sin embargo, por poner un contraejemplo, es común, en contextos relativos al álgebra abstracta o álgebra moderna, que $+$ denote una operación que cumple las mismas propiedades que cumple la suma (asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento opuesto), y entonces la necedad sería la del que se restringe, por culpa de dicho símbolo, simplemente a la suma.

Conclusión de mi defensa. Las matemáticas no son por consenso. Una definición es un lenguaje que nos permite denotar cosas que ya existen. Un axioma es una base sobre la que construir. Tanto las definiciones como los axiomas descansan, aunque no sean visibles a simple vista, sobre argumentos extremadamente sólidos y permíteme el atrevimiento, irrompibles. Nadie se levanta un día y define el producto de matrices a su antojo. Nada es casualidad. No se reúnen un grupo de matemáticos y dicen que convienen en que el cero es un número natural. Bueno, la verdad es que sí, a veces se reúnen y dicen qué conviene. Pero siempre habrá otro buen número de matemáticos, igual de competentes y con razones y argumentos igualmente sólidos que no convendrán (notaréis que lo de que si 0 es natural o no, es algo que no cuaja, mientra que lo de que el 1 no es un número primo está bastante claro – esto es ilustrativo de la diferencia que hay entre que algo tenga un trasfondo matemático o algo tenga un trasfondo de conveniencia). De ahí que nada es consenso. Deberíamos por lo tanto enfocar nuestros esfuerzos en comprender cuáles son los razonamientos sobre los que descansa cada detalle de la matemática, en lugar de perder nuestras fuerzas y nuestro tiempo en discutir qué es “lo que conviene”, pues “lo que conviene” no lo elegimos nosotros (puedes acusarme de platónico).

“No se por qué, pero sé que hay un por qué”. Como ser humano tengo un conocimiento limitado. Ésto, automáticamente, me desliga de la oblicación de conocer todos los pormenores, todas las causas y todos los razonamientos. Sin embargo, como matemático, tengo la obligación de saber que estos existen. Si soy un divulgador o un docente, además tengo la responsabilidad de trasmitir esto, y de servir como (buen) ejemplo al que es menos experto y está fijandose en lo que yo hago. Deberíamos plantearnos seriamente el hacer un esfuerzo para eliminar esta duda de arbitrariedad que transmite “el consenso”. Olvidarnos de gastar tantas energias en mostrar razonamientos falaces y simplistas que fomentan la percepción de que la matemática es algo arbitrario.

 

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta octogésima tercera edición, también denominada X.3, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

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